PUBLICATIONS MATHÉMATIQUES DE L'IHES

Online first
Le lemme d’Abhyankar perfectoide
Publications Mathématiques de l'IHÉS, Volume 127 (2018), pp. 1-70
PDF

Nous étendons le théorème de presque-pureté de Faltings-Scholze-Kedlaya-Liu sur les extensions étales finies d’algèbres perfectoïdes au cas des extensions ramifiées, sans restriction sur le lieu de ramification. Nous déduisons cette version perfectoïde du lemme d’Abhyankar du théorème de presque-pureté, par un passage à la limite mettant en jeu des versions perfectoïdes du théorème d’extension de Riemann. Au préalable, nous développons les aspects catégoriques des algèbres de Banach uniformes et des algèbres perfectoïdes, tout en semant de nouvelles notions (algèbres presque perfectoïdes) et techniques galoisiennes.

Received:
Accepted:
Online First:
Published online:
DOI: 10.1007/s10240-017-0096-x 
@article{PMIHES_2018__127__1_0,
     author = {Yves Andr\'e},
     title = {Le lemme {d{\textquoteright}Abhyankar} perfectoide},
     journal = {Publications Math\'ematiques de l'IH\'ES},
     pages = {1--70},
     year = {2018},
     publisher = {Springer Berlin Heidelberg},
     address = {Berlin/Heidelberg},
     volume = {127},
     doi = {10.1007/s10240-017-0096-x},
     language = {fr},
     url = {https://pmihes.centre-mersenne.org/articles/10.1007/s10240-017-0096-x/}
}
TY  - JOUR
AU  - Yves André
TI  - Le lemme d’Abhyankar perfectoide
JO  - Publications Mathématiques de l'IHÉS
PY  - 2018
SP  - 1
EP  - 70
VL  - 127
PB  - Springer Berlin Heidelberg
PP  - Berlin/Heidelberg
UR  - https://pmihes.centre-mersenne.org/articles/10.1007/s10240-017-0096-x/
DO  - 10.1007/s10240-017-0096-x
LA  - fr
ID  - PMIHES_2018__127__1_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Yves André
%T Le lemme d’Abhyankar perfectoide
%J Publications Mathématiques de l'IHÉS
%D 2018
%P 1-70
%V 127
%I Springer Berlin Heidelberg
%C Berlin/Heidelberg
%U https://pmihes.centre-mersenne.org/articles/10.1007/s10240-017-0096-x/
%R 10.1007/s10240-017-0096-x
%G fr
%F PMIHES_2018__127__1_0
Yves André. Le lemme d’Abhyankar perfectoide. Publications Mathématiques de l'IHÉS, Volume 127 (2018), pp. 1-70. doi: 10.1007/s10240-017-0096-x

[1.] D. Anderson; D. Dobbs; M. Roitman Root closure in commutative rings, Ann. Sci. Univ. Blaise Pascal, Volume 95 (1990), pp. 1-11 | MR | Zbl

[2.] F. Andreatta Generalized ring of norms and generalized (Φ,Γ)-modules, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4), Volume 39 (2006), pp. 599-647 | MR | DOI | Zbl

[3.] M. Artin; A. Grothendieck; J.-L. Verdier Théorie des topos et cohomologie étale des schémas, vol. 2, 270, Springer, New York, 1972 | Zbl

[4.] W. Bartenwerfer Der erste Riemannsche Hebbarkeitssatz im nichtarchimedischen Fall, J. Reine Angew. Math., Volume 286–287 (1976), pp. 144-163 | MR | Zbl

[5.] V. Berkovich Spectral Theory and Analytic Geometry over Non-Archimedean Fields, 33, AMS, Providence, 1990 | Zbl

[6.] S. Bosch; U. Güntzer; R. Remmert Non-Archimedean Analysis. A Systematic Approach to Rigid Analytic Geometry, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 261, Springer, Berlin, 1984

[7.] N. Bourbaki Espaces vectoriels topologiques, Hermann, Paris, 1953 | Zbl

[8.] N. Bourbaki Algèbre commutative, Masson, Paris, 1985 (chapitres 1 à 7) | Zbl

[9.] P. Colmez Espaces de Banach de dimension finie, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 1 (2002), pp. 331-439 | MR | DOI | Zbl

[10.] G. Faltings Almost étale extensions, Astérisque, Volume 279 (2002), pp. 185-270 | Zbl

[11.] I. Fesenko On deeply ramified extensions, J. Lond. Math. Soc., Volume 57 (1998), pp. 325-335 | MR | DOI | Zbl

[12.] J.-M. Fontaine Perfectoïdes, presque pureté et monodromie-poids (P. Scholze, ed.), Séminaire Bourbaki, 64-ième année, 352, 2013, pp. 509-534

[13.] J. Fresnel; M. Matignon Produit tensoriel topologique de corps valués, Can. J. Math., Volume 35 (1983), pp. 218-273 | DOI | Zbl

[14.] P. Gabriel Des catégories abéliennes, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 90 (1962), pp. 323-448 | DOI | Zbl

[15.] O. Gabber; L. Ramero Almost Ring Theory, 1800, Springer, New York, 2003 | Zbl

[16.] O. Gabber and L. Ramero, Foundations for almost ring theory, | arXiv

[17.] R. Gilmer; W. Heinzer On the complete integral closure of an integral domain, J. Aust. Math. Soc., Volume 6 (1966), pp. 351-361 | MR | DOI | Zbl

[18.] U. Güntzer The norm of uniform convergence on the k-algebraic maximal spectrum of an algebra over a non-Archimedean valuation field k, Mém. Soc. Math. Fr., Volume 39–40 (1974), pp. 101-121 | MR | Zbl

[19.] H. Herrlich; G. Strecker Coreflective subcategories, Trans. Am. Math. Soc., Volume 157 (1971), pp. 205-226 | MR | DOI | Zbl

[20.] K. Kedlaya, On commutative non-archimedean Banach fields, | arXiv

[21.] K. Kedlaya; R. Liu Relative p -adic Hodge Theory, I. Foundations, 371, 2015 | Zbl

[22.] S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, 2ème éd, Springer GTM, 5 (1998).

[23.] T. Mihara Characterization of the Berkovich spectrum of the Banach algebra of bounded continuous functions, Doc. Math., Volume 19 (2014), pp. 769-799 | MR | Zbl

[24.] T. Mihara On Tate acyclicity and uniformity of Berkovich spectra and adic spectra, Isr. J. Math., Volume 216 (2016), pp. 61-105 | MR | DOI | Zbl

[25.] D. Mumford Abelian Varieties, Oxford Univ. Press, Tata, 1970 (3rd edn., 2010) | Zbl

[26.] M. Olsson On Faltings’method of almost etale extensions, Algebraic Geometry, Part 2, Volume 80 (2009), pp. 811-936 | DOI

[27.] J. Poineau Les espaces de Berkovich sont angéliques, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 141 (2013), pp. 267-297 | MR | DOI | Zbl

[28.] P. Roberts, The root closure of a ring of mixed characteristic, | arXiv

[29.] J.-E. Roos Derived functors of inverse limits revisited, J. Lond. Math. Soc. (2), Volume 73 (2006), pp. 65-83 | MR | DOI | Zbl

[30.] P. Scholze Perfectoid spaces, Publ. Math. IHÉS, Volume 116 (2012), pp. 245-313 | MR | DOI | Zbl

[31.] P. Scholze On torsion in the cohomology of locally symmetric varieties, Ann. Math., Volume 182 (2015), pp. 945-1066 | MR | DOI | Zbl

[32.] K. Shimomoto, An application of the almost purity theorem to the homological conjectures, J. Pure Appl. Algebra, 220 (2014).

[33.] T. Szamuely Galois Groups and Fundamental Groups, 117, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2009 | DOI | Zbl

[34.] I. Waschkies The stack of microlocal perverse sheaves, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 132 (2004), pp. 397-462 | MR | DOI | Zbl

[35.] J.-P. Wintenberger Une généralisation du théorème de Tate-Sen-Ax, Groupe étude Anal. Ultramétr., Volume 15 (1987), pp. 1-5

Cited by Sources: